Giải tích Ví dụ

${(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 4}$ và $g (x) = x^{4} - \frac{7}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4} - \frac{7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} - \frac{7}{x}$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - \frac{7}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

Bước 2.3

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{7}{x}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 (- x^{- 2}))$

Bước 2.6

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

Bước 3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.3.3

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$ .

$- (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (4 x^{3}) - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Bước 3.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Bước 3.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Để viết $x^{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x}{x} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Bước 3.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x - 7}{x})}^{5}}$

Bước 3.7.3

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x^{1} - 7}{x})}^{5}}$

Bước 3.7.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4 + 1} - 7}{x})}^{5}}$

Bước 3.7.3.2

Cộng $4$ và $1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{5} - 7}{x})}^{5}}$

Bước 3.7.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{5} - 7}{x}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{\frac{{(x^{5} - 7)}^{5}}{x^{5}}}$

Bước 3.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 \frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}})$

Bước 3.9

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.10

Nhân $- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}$ với $\frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$\frac{(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 x^{5})}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Để viết $- 4 x^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(- 4 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.2

Kết hợp $- 4 x^{3}$ và $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(\frac{- 4 x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{- 4 x^{3} x^{2} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.4

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.4.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 (x^{2} x^{3}) - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{- 4 x^{2 + 3} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.4.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.5.1

Kết hợp $\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}}$ và $4$ .

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}} x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.5.2

Kết hợp $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}}$ và $x^{5}$ .

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.6.1

Rút gọn biểu thức $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.6.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.6.1.2

Nhân với $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.6.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.11.6.2

Chia $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}$ cho $1$ .

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.12

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $- 4 x^{5} - 7$ .

$\frac{4 \cdot (- 4 x^{5} - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{5}$ .

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.14

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1 (7)$ .

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 1 (7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.15

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{5}) - 1 (7)$ .

$\frac{4 (- (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.16

Viết lại $- (4 x^{5} + 7)$ ở dạng $- 1 (4 x^{5} + 7)$ .

$\frac{4 (- 1 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Bước 3.18

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$- \frac{(4) x^{3} (4 x^{5} + 7)}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$