Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{7} - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ và $g (x) = x^{7} - 2$ .

$\frac{(x^{7} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.5

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.6

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.7

Cộng $2 x - 3$ và $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{7} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.10

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Cộng $7 x^{6}$ và $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6})}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 2.11.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 (x^{2} - 3 x + 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) + (- 7 x^{2} - 7 (- 3 x) - 7 \cdot 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Khai triển $(x^{7} - 2) (2 x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{7} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x^{7} x + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $x^{7}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2.2

Nhân $x$ với $x^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 7} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2.3

Cộng $1$ và $7$ .

$\frac{2 x^{8} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x^{7}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 \cdot x^{7} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.5

Nhân $- 2$ với $- 3$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{6}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Di chuyển $x^{6}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 (x^{6} x^{2}) - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{6 + 2} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3.3

Cộng $6$ và $2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4

Nhân $x$ với $x^{6}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Di chuyển $x^{6}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x)) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4.2

Nhân $x^{6}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x^{1})) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{6 + 1}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4.3

Cộng $6$ và $1$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{7}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.5

Nhân $- 3$ với $- 7$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.6

Nhân $- 7$ với $2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Trừ $7 x^{8}$ khỏi $2 x^{8}$ .

$\frac{- 5 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $- 3 x^{7}$ và $21 x^{7}$ .

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 4 x + 6 - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 x^{8}$ .

$\frac{- (5 x^{8}) + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $18 x^{7}$ .

$\frac{- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7})$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 14 x^{6}$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6})$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.12

Viết lại $6$ ở dạng $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.14

Viết lại $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ ở dạng $- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Bước 3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$