Giải tích Ví dụ

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ và $g (x) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{2} - 18 x + 18$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (18 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.5

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 18 x$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (18 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (18 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.7

Nhân $- 18$ với $1$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (18 x - 18 + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 3.8

Vì $18$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $18$ đối với $x$ là $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (18 x - 18 + 0)$

Bước 3.9

Cộng $18 x - 18$ và $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} + e^{x} (18 x - 18)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x} + e^{x} (18 x - 18)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x} + e^{x} (18 x) + e^{x} \cdot - 18$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển $- 18$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x} + e^{x} (18 x) - 18 \cdot e^{x}$

Bước 4.3.2

Cộng $- 18 x e^{x}$ và $e^{x} (18 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} + 18 e^{x} - 18 x e^{x} + 18 x e^{x} - 18 e^{x}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $- 18 x e^{x}$ và $18 x e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} + 18 e^{x} + 0 - 18 e^{x}$

Bước 4.3.3

Cộng $9 x^{2} e^{x} + 18 e^{x}$ và $0$ .

$9 x^{2} e^{x} + 18 e^{x} - 18 e^{x}$

Bước 4.3.4

Trừ $18 e^{x}$ khỏi $18 e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} + 0$

Bước 4.3.5

Cộng $9 x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$9 x^{2} e^{x}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các thừa số của $9 x^{2} e^{x}$ .

$9 e^{x} x^{2}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $9 e^{x} x^{2}$ .

$9 x^{2} e^{x}$