Giải tích Ví dụ

$(3 x + 1) (5 x^{2} - 6 x + 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x + 1$ và $g (x) = 5 x^{2} - 6 x + 3$ .

$(3 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 6 x + 3] + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} - 6 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(3 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $5$ .

$(3 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.5

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.7

Nhân $- 6$ với $1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.8

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 + 0) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.9

Cộng $10 x - 6$ và $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.11

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.13

Nhân $3$ với $1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.14

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + 0)$

Bước 2.15

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Cộng $3$ và $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \cdot 3$

Bước 2.15.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5 x^{2} - 6 x + 3$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 \cdot (5 x^{2} - 6 x + 3)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 x + 1) (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $10$ với $3$ .

$30 x \cdot x + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$30 (x^{1} x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$30 (x^{1} x^{1}) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$30 x^{1 + 1} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$30 x^{2} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.6

Nhân $10$ với $1$ .

$30 x^{2} + 10 x + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.7

Nhân $- 6$ với $3$ .

$30 x^{2} + 10 x - 18 x + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.8

Nhân $- 6$ với $1$ .

$30 x^{2} + 10 x - 18 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.9

Trừ $18 x$ khỏi $10 x$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.10

Nhân $5$ với $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.11

Nhân $- 6$ với $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 3$

Bước 3.5.12

Nhân $3$ với $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 9$

Bước 3.5.13

Cộng $30 x^{2}$ và $15 x^{2}$ .

$45 x^{2} - 8 x - 6 - 18 x + 9$

Bước 3.5.14

Trừ $18 x$ khỏi $- 8 x$ .

$45 x^{2} - 26 x - 6 + 9$

Bước 3.5.15

Cộng $- 6$ và $9$ .

$45 x^{2} - 26 x + 3$