Giải tích Ví dụ

$3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} \sec (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x))) + 3 (\sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 6 \sec (x) x + \cos (x)$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.2

Nhân $3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{2} \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.4

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.5

Kết hợp.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.6.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.6.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Bước 4.4.7

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.4.8

Nhân $6 x \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.8.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.4.8.2

Kết hợp $x$ và $\frac{6}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.4.9

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.2

Tách các phân số.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4

Kết hợp $\frac{3 x^{2}}{\cos (x)}$ và $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.5

Tách các phân số.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.6

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.7

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\frac{3 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.8.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.8.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.9

Chia $3 x^{2}$ cho $1$ .

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$ .

$3 x^{2} \tan (x) \sec (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$