Giải tích Ví dụ

$(5 x^{2} + 3) (3 x - 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 5 x^{2} + 3$ và $g (x) = 3 x - 2$ .

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$(5 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$(5 x^{2} + 3) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$(5 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5 x^{2} + 3$ .

$3 \cdot (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.8

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $5$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.11

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) (10 x + 0)$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $10 x$ và $0$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + (3 x - 2) (10 x)$

Bước 2.12.2

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $3 x - 2$ .

$3 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (3 x - 2) x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 3 + 10 (3 x - 2) x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 3 + (10 (3 x) + 10 \cdot - 2) x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 3 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $5$ với $3$ .

$15 x^{2} + 3 \cdot 3 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.2

Nhân $3$ với $3$ .

$15 x^{2} + 9 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.3

Nhân $3$ với $10$ .

$15 x^{2} + 9 + 30 x \cdot x + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$15 x^{2} + 9 + 30 (x^{1} x) + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$15 x^{2} + 9 + 30 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$15 x^{2} + 9 + 30 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.7

Cộng $1$ và $1$ .

$15 x^{2} + 9 + 30 x^{2} + 10 \cdot - 2 x$

Bước 3.4.8

Nhân $10$ với $- 2$ .

$15 x^{2} + 9 + 30 x^{2} - 20 x$

Bước 3.4.9

Cộng $15 x^{2}$ và $30 x^{2}$ .

$45 x^{2} + 9 - 20 x$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$45 x^{2} - 20 x + 9$