Giải tích Ví dụ

$y = \frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{9}{7}$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $\frac{9}{7 w^{5}}$ đối với $w$ là $\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}]$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{w^{5}}$ ở dạng ${(w^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [{(w^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = w^{- 1}$ và $g (w) = w^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{9}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.5

Nhân các số mũ trong ${(w^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{7} (- w^{5 \cdot - 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$\frac{9}{7} (- w^{- 10} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 10} w^{4}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.7

Nhân $w^{- 10}$ với $w^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển $w^{4}$ .

$\frac{9}{7} (- 5 (w^{4} w^{- 10})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9}{7} (- 5 w^{4 - 10}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 6}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.8

Kết hợp $- 5$ và $\frac{9}{7}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.9

Nhân $- 5$ với $9$ .

$\frac{- 45}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.10

Kết hợp $\frac{- 45}{7}$ và $w^{- 6}$ .

$\frac{- 45 w^{- 6}}{7} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.11

Di chuyển $w^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{w}$ ở dạng $w^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 w^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2

Vì $9$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $9 w^{\frac{1}{4}}$ đối với $w$ là $9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 4}{4}})$

Bước 3.7.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{- 3}{4}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{- \frac{3}{4}})$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $w^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 3.10

Kết hợp $9$ và $\frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9 w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 3.11

Di chuyển $w^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9}{4 w^{\frac{3}{4}}}$