Giải tích Ví dụ

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 10 x^{2} - 20 x + 20$ và $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 7 x$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 7 x$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 7$ với $1$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $- 7$ sang phía bên trái của $(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}$ .

$- 7 \cdot ((10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x^{2} - 20 x + 20$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.5

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{2}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $10$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.8

Vì $- 20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 20 x$ đối với $x$ là $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.10

Nhân $- 20$ với $1$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 3.11

Vì $20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $20$ đối với $x$ là $0$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 + 0)$

Bước 3.12

Cộng $20 x - 20$ và $0$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 7 (10 x^{2}) - 7 (- 20 x) - 7 \cdot 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 7 (10 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 7 (10 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $10$ với $- 7$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Bước 4.4.2

Nhân $- 20$ với $- 7$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Bước 4.4.3

Nhân $- 7$ với $20$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Bước 4.4.4

Di chuyển $- 20$ sang phía bên trái của $e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) - 20 \cdot e^{- 7 x}$

Bước 4.4.5

Cộng $140 x e^{- 7 x}$ và $e^{- 7 x} (20 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.5.1

Di chuyển $e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} + 20 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} - 20 e^{- 7 x}$

Bước 4.4.5.2

Cộng $140 x e^{- 7 x}$ và $20 x e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} - 20 e^{- 7 x}$

Bước 4.4.6

Trừ $20 e^{- 7 x}$ khỏi $- 140 e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 160 e^{- 7 x}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 70 e^{- 7 x} x^{2} + 160 e^{- 7 x} x - 160 e^{- 7 x}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 70 e^{- 7 x} x^{2} + 160 e^{- 7 x} x - 160 e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 160 e^{- 7 x}$