Giải tích Ví dụ

$p (t) = \frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$ đối với $t$ là $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(t + 5)}^{2}$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(t + 5)}^{2}$ với $1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = t + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t + 5$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t + 5$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 (t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $t + 5$ ra ngoài ${(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $t + 5$ ra ngoài ${(t + 5)}^{2}$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $t + 5$ ra ngoài $- 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $t + 5$ ra ngoài $(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $t + 5$ ra ngoài ${(t + 5)}^{4}$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 9

Vì $5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $5$ đối với $t$ là $0$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + 0)}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t \cdot 1}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 10.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 10.3

Trừ $2 t$ khỏi $t$ .

$8 \frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 10.4

Kết hợp $8$ và $\frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$ .

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (- t) + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{- 8 t + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.2.2

Nhân $8$ với $5$ .

$\frac{- 8 t + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.3

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 t + 40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 t$ .

$\frac{8 (- t) + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.3.2

Đưa $8$ ra ngoài $40$ .

$\frac{8 (- t) + 8 (5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.3.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- t) + 8 (5)$ .

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t$ .

$\frac{8 (- (t) + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.5

Viết lại $5$ ở dạng $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (t) - 1 (- 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.7

Viết lại $- (t - 5)$ ở dạng $- 1 (t - 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8 (t - 5)}{{(t + 5)}^{3}}$