Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[3]{t} + 2 \sqrt{t^{3}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt[3]{t} + 2 \sqrt{t^{3}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t^{3}}$ ở dạng $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.9

Kết hợp $2$ và $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 3.10

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.11

Đưa $2$ ra ngoài $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 3.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Bước 3.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Bước 3.12.4

Chia $3 t^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$