Giải tích Ví dụ

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ .

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{4 t} - e^{t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 4 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 t$ .

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 t$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 5.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 t}$ .

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 5.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- e^{t}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $e^{t}$ với $e^{4 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Di chuyển $e^{4 t}$ .

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.1.3

Cộng $4 t$ và $t$ .

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{5 t}$ .

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.3

Nhân $4$ với $4$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.4

Nhân $e^{t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.4.1

Di chuyển $e^{t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.4.3

Cộng $t$ và $t$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{2 t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.6

Viết lại $- 1 e^{2 t}$ ở dạng $- e^{2 t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.7

Nhân $- 1$ với $4$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.8

Nhân $e^{4 t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.8.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.8.2

Cộng $4 t$ và $t$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

Bước 8.4.9

Nhân $e^{t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.9.1

Di chuyển $e^{t}$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

Bước 8.4.9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

Bước 8.4.9.3

Cộng $t$ và $t$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

Bước 8.4.10

Nhân $- 1$ với $4$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

Bước 8.4.11

Cộng $16 e^{5 t}$ và $4 e^{5 t}$ .

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

Bước 8.4.12

Trừ $4 e^{2 t}$ khỏi $- 4 e^{2 t}$ .

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$