Giải tích Ví dụ

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{c}{b - a}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ đối với $t$ là $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{- a t} - e^{- b t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - a t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- a$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- a t$ đối với $t$ là $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- e^{- b t}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - b t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- b$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- b t$ đối với $t$ là $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 5.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 5.2.2

Nhân $e^{- b t}$ với $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Bước 5.4

Nhân $b$ với $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ .

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Bước 6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Bước 6.3

Nhân $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ với $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Bước 6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{- a t} a$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Bước 6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $e^{- b t} b$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Bước 6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ .

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Bước 6.7

Viết lại $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ ở dạng $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ .

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Bước 6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Bước 6.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ .

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$