Giải tích Ví dụ

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = arcsec (t)$ và $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $arcsec (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{9 t^{4}}$ và $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ .

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Bước 4

Nhân $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ với $1$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Bước 5

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{9 t^{4}}$ đối với $t$ là $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Bước 6.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại $\frac{1}{t^{4}}$ ở dạng ${(t^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

Bước 6.3.2

Nhân các số mũ trong ${(t^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

Bước 6.3.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ và $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Bước 9

Nhân $t^{4}$ với $t^{- 5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Bước 9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Bước 9.3

Cộng $- 5$ và $4$ .

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Bước 10

Di chuyển $t^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Bước 12.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $9 t^{4}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Bước 12.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Bước 12.3.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Bước 12.3.3

Nhân các số mũ trong ${(t^{4})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

Bước 12.3.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$