Giải tích Ví dụ

$y = \frac{100 t}{{(t + 20)}^{2}}$

Bước 1

Vì $100$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{100 t}{{(t + 20)}^{2}}$ đối với $t$ là $100 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 20)}^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 20)}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(t + 20)}^{2}$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{({(t + 20)}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(t + 20)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(t + 20)}^{2}$ với $1$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = t + 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t + 20$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t + 20$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t (2 (t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $t + 20$ ra ngoài ${(t + 20)}^{2} - 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $t + 20$ ra ngoài ${(t + 20)}^{2}$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20) - 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $t + 20$ ra ngoài $- 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20) + (t + 20) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $t + 20$ ra ngoài $(t + 20) (t + 20) + (t + 20) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{{(t + 20)}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $t + 20$ ra ngoài ${(t + 20)}^{4}$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{(t + 20) {(t + 20)}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$100 \frac{(t + 20) (t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{(t + 20) {(t + 20)}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$100 \frac{t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 20$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [20]$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [20])}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [20])}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 9

Vì $20$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $20$ đối với $t$ là $0$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t (1 + 0)}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t \cdot 1}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 10.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 10.3

Trừ $2 t$ khỏi $t$ .

$100 \frac{- t + 20}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 10.4

Kết hợp $100$ và $\frac{- t + 20}{{(t + 20)}^{3}}$ .

$\frac{100 (- t + 20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{100 (- t) + 100 \cdot 20}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $100$ .

$\frac{- 100 t + 100 \cdot 20}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.2.2

Nhân $100$ với $20$ .

$\frac{- 100 t + 2000}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.3

Đưa $100$ ra ngoài $- 100 t + 2000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $100$ ra ngoài $- 100 t$ .

$\frac{100 (- t) + 2000}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.3.2

Đưa $100$ ra ngoài $2000$ .

$\frac{100 (- t) + 100 (20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.3.3

Đưa $100$ ra ngoài $100 (- t) + 100 (20)$ .

$\frac{100 (- t + 20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t$ .

$\frac{100 (- (t) + 20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.5

Viết lại $20$ ở dạng $- 1 (- 20)$ .

$\frac{100 (- (t) - 1 (- 20))}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t) - 1 (- 20)$ .

$\frac{100 (- (t - 20))}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.7

Viết lại $- (t - 20)$ ở dạng $- 1 (t - 20)$ .

$\frac{100 (- 1 (t - 20))}{{(t + 20)}^{3}}$

Bước 11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{100 (t - 20)}{{(t + 20)}^{3}}$