Giải tích Ví dụ

$y = \frac{t^{2} + 2}{{(2 t - 5)}^{9}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{2} + 2$ và $g (t) = {(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{({(2 t - 5)}^{9})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 t - 5)}^{9})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 2$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 2.4

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $2 t$ và $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 2.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{9}$ và $g (t) = 2 t - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 {(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 4.2

Đưa ${(2 t - 5)}^{8}$ ra ngoài $2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa ${(2 t - 5)}^{8}$ ra ngoài $2 {(2 t - 5)}^{9} t$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 4.2.2

Đưa ${(2 t - 5)}^{8}$ ra ngoài $- 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 4.2.3

Đưa ${(2 t - 5)}^{8}$ ra ngoài ${(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa ${(2 t - 5)}^{8}$ ra ngoài ${(2 t - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 9

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 10

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.1

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.4.1.1.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.4.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.4.1.3

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.4.1.4

Nhân $- 18$ với $2$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.4.2

Trừ $18 t^{2}$ khỏi $4 t^{2}$ .

$\frac{- 14 t^{2} - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 14 t^{2} - 10 t - 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14 t^{2}$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 10 t$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 36$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.5.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.5.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 7 t^{2}$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 t$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - (5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (7 t^{2}) - (5 t)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.9

Viết lại $- 18$ ở dạng $- 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.11

Viết lại $- (7 t^{2} + 5 t + 18)$ ở dạng $- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18)$ .

$\frac{2 (- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Bước 12.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (7 t^{2} + 5 t + 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$