Giải tích Ví dụ

$e^{4 x} + e^{- x}$

Bước 1

Viết $e^{4 x} + e^{- x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{4 x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 2.1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 2.1.1.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 2.1.1.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 e^{4 x} - e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 e^{4 x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.6

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2.7

Nhân $4$ với $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 2.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.1.2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.1.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.1.2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 2.1.2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 2.1.2.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 2.1.2.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Bước 2.1.2.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Bước 2.1.2.3.9

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Bước 2.2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

Không có đáp án

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Đồ thị lõm vì đạo hàm bậc hai dương.

Đồ thị có dạng lõm

Bước 5