Giải tích Ví dụ

$y = \ln (3 t e^{- t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = 3 t e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t e^{- t}$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t e^{- t}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ .

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 5.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 5.3.3

Viết lại $- 1 e^{- t}$ ở dạng $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Bước 5.5

Nhân $e^{- t}$ với $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{t e^{- t}}$ .

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{t}{t e^{- t}}$ và $e^{- t}$ .

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Bước 6.2.6

Kết hợp $\frac{1}{t e^{- t}}$ và $e^{- t}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Bước 6.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Bước 6.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{1}{t}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{t} - 1$