Giải tích Ví dụ

$\frac{u}{u^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ là $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ trong đó $f (u) = u$ và $g (u) = u^{2} + 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân $u^{2} + 1$ với $1$ .

$\frac{u^{2} + 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u^{2} + 1$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u^{2} + 1 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1])}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 1 - u (2 u + \frac{d}{d u} [1])}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $1$ đối với $u$ là $0$ .

$\frac{u^{2} + 1 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2 u$ và $0$ .

$\frac{u^{2} + 1 - u (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 1 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{u^{2} + 1 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{u^{2} + 1 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{u^{2} + 1 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{u^{2} + 1 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7

Trừ $2 u^{2}$ khỏi $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 1}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$