Giải tích Ví dụ

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ là $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ trong đó $f (w) = 17 w^{2} + 11$ và $g (w) = e^{w^{2}}$ .

$(17 w^{2} + 11) \frac{d}{d w} [e^{w^{2}}] + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = e^{w}$ và $g (w) = w^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{u} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $17 w^{2} + 11$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Bước 3.3

Vì $17$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $17 w^{2}$ đối với $w$ là $17 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 \frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 (2 w) + \frac{d}{d w} [11])$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $17$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + \frac{d}{d w} [11])$

Bước 3.6

Vì $11$ là hằng số đối với $w$ , đạo hàm của $11$ đối với $w$ là $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + 0)$

Bước 3.7

Cộng $34 w$ và $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(17 w^{2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}}) (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$17 w^{2} e^{w^{2}} (2 w) + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $17$ .

$34 w^{2} e^{w^{2}} w + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.3.2

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$34 (w^{1} w^{2}) e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$34 w^{1 + 2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.3.5

Nhân $2$ với $11$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 e^{w^{2}} w + e^{w^{2}} (34 w)$

Bước 4.3.6

Di chuyển $e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 w e^{w^{2}} + 34 w e^{w^{2}}$

Bước 4.3.7

Cộng $22 w e^{w^{2}}$ và $34 w e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$