Giải tích Ví dụ

$f (v) = 9 \sqrt{v (1 - e^{v})}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{v (1 - e^{v})}$ ở dạng ${v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $9$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $v$ là $9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ là $f' (g (v)) g' (v)$ trong đó $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ và $g (v) = v (1 - e^{v})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{{v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 9

Di chuyển ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ và $9$ .

$\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$

Bước 11

Kết hợp $\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$ .

$\frac{9 \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$