Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ là $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ trong đó $f (v) = 5 - v^{2}$ và $g (v) = 5 + v^{2}$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [5 - v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - v^{2}$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $5$ đối với $v$ là $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [- v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $- v^{2}$ đối với $v$ là $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- (2 v)) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + v^{2}$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $5$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $5$ đối với $v$ là $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (2 v)}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 2 \cdot 5 - 2 (- v^{2})) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $- 2$ với $5$ .

$\frac{- 10 v + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 10 v - 2 v^{2} v - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $v^{2}$ với $v$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.1

Di chuyển $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.2

Nhân $v$ với $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 10 v - 2 v^{1 + 2} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 2$ với $5$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $v^{2}$ với $v$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.5.1

Di chuyển $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v \cdot v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5.2

Nhân $v$ với $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.5.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v^{1} v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{1 + 2})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{3})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cộng $- 2 v^{3}$ và $2 v^{3}$ .

$\frac{- 10 v - 10 v + 0}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2.2

Cộng $- 10 v - 10 v$ và $0$ .

$\frac{- 10 v - 10 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3

Trừ $10 v$ khỏi $- 10 v$ .

$\frac{- 20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$