Giải tích Ví dụ

$(3 x^{3} - x + 1) (4 - x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x^{3} - x + 1$ và $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{3} - x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $3$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.14

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + 0)$

Bước 2.15

Cộng $9 x^{2} - 1$ và $0$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 6 x^{3} x - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 (x^{1} x^{3}) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 x^{1 + 3} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.4

Cộng $1$ và $3$ .

$- 6 x^{4} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x \cdot x + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.9

Cộng $1$ và $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.10

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.11

Nhân $9$ với $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.12

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.13

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.13.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.13.3

Cộng $2$ và $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.14

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 - x^{2} \cdot - 1$

Bước 3.5.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + 1 x^{2}$

Bước 3.5.16

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + x^{2}$

Bước 3.5.17

Cộng $36 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 37 x^{2} - 9 x^{4} - 4$

Bước 3.5.18

Cộng $2 x^{2}$ và $37 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 9 x^{4} - 4$

Bước 3.5.19

Trừ $9 x^{4}$ khỏi $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 4$