Giải tích Ví dụ

$h (w) = {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ và $g (w) = w^{2} + 2 w + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $w^{2} + 2 w + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $w^{2} + 2 w + 4$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 6

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và ${(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $w^{2} + 2 w + 4$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $2 w$ đối với $w$ là $2 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [4])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [4])$

Bước 11

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + \frac{d}{d w} [4])$

Bước 12

Vì $4$ là hằng số đối với $w$ , đạo hàm của $4$ đối với $w$ là $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + 0)$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $2 w + 2$ và $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$ .

$(2 w + 2) \frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$