Giải tích Ví dụ

$g (t) = \sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = \sin (3 t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (3 t)$ .

$2 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 t$ .

$2 \sin (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 t$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 t)$ .

$2 \sin (3 t) (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $2$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \arcsin (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 t$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d u_{3}} [\arcsin (u_{3})] \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}}$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 t$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 t$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (t))}^{2}}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (t)$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} t^{2})}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (9 t^{2})}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $9$ với $- 1$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.8

Nhân $3$ với $1$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} \cdot 3$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$ và $3$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 \cos (3 t) \sin (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$