Giải tích Ví dụ

$f (t) = \sqrt[8]{4 + \tan (t)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[8]{4 + \tan (t)}$ ở dạng ${(4 + \tan (t))}^{\frac{1}{8}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(4 + \tan (t))}^{\frac{1}{8}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{8}}$ và $g (t) = 4 + \tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 + \tan (t)$ .

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 6.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{8} {(4 + \tan (t))}^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và ${(4 + \tan (t))}^{- \frac{7}{8}}$ .

$\frac{{(4 + \tan (t))}^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(4 + \tan (t))}^{- \frac{7}{8}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d t} [4 + \tan (t)]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + \tan (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{1}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Bước 7.4

Vì $4$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $4$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}} (0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Bước 7.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{1}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Bước 8

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}} \sec^{2} (t)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}}$ và $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sec^{2} (t)}{8 {(4 + \tan (t))}^{\frac{7}{8}}}$