Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{e^{5 t} + e^{- 5 t}}{e^{3 t}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = e^{5 t} + e^{- 5 t}$ và $g (t) = e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{{(e^{3 t})}^{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{3 t})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{3 t \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{5 t} + e^{- 5 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]$ .

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 5 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \cdot 5 + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{3 t} (5 \cdot e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 5 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 5 t$ đối với $t$ là $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \cdot 1)) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \cdot - 5) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 6.3.2

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $e^{- 5 t}$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 \cdot e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

Bước 8.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

Bước 8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \cdot 1)}{e^{6 t}}$

Bước 8.4

Nhân $e^{3 t}$ với $1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) + (- 3 e^{5 t} - 3 e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{5 e^{3 t} e^{5 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.2

Nhân $e^{3 t}$ với $e^{5 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.2.1

Di chuyển $e^{5 t}$ .

$\frac{5 (e^{5 t} e^{3 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 e^{5 t + 3 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.2.3

Cộng $5 t$ và $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{3 t} e^{- 5 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.4

Nhân $e^{3 t}$ với $e^{- 5 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.4.1

Di chuyển $e^{- 5 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 (e^{- 5 t} e^{3 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 5 t + 3 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.4.3

Cộng $- 5 t$ và $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.5

Nhân $e^{5 t}$ với $e^{3 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.5.1

Di chuyển $e^{3 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 (e^{3 t} e^{5 t}) - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{3 t + 5 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.5.3

Cộng $3 t$ và $5 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.6

Nhân $e^{- 5 t}$ với $e^{3 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.6.1

Di chuyển $e^{3 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 (e^{3 t} e^{- 5 t})}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{3 t - 5 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.1.6.3

Trừ $5 t$ khỏi $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.2

Trừ $3 e^{8 t}$ khỏi $5 e^{8 t}$ .

$\frac{2 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.4.3

Trừ $3 e^{- 2 t}$ khỏi $- 5 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{8 t}$ .

$\frac{2 (e^{8 t}) - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Bước 9.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Bước 9.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})$ .

$\frac{2 (e^{8 t} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Bước 9.5.2

Viết lại $e^{8 t}$ ở dạng ${(e^{4 t})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Bước 9.5.3

Viết lại $4 e^{- 2 t}$ ở dạng ${(2 e^{- t})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - {(2 e^{- t})}^{2})}{e^{6 t}}$

Bước 9.5.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{4 t}$ và $b = 2 e^{- t}$ .

$\frac{2 ((e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - (2 e^{- t})))}{e^{6 t}}$

Bước 9.5.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - 2 e^{- t})}{e^{6 t}}$