Giải tích Ví dụ

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a (1 - e^{- k t}) + b$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $a$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $a (1 - e^{- k t})$ đối với $t$ là $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{- k t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- e^{- k t}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - k t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.6

Vì $- k$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- k t$ đối với $t$ là $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.10

Nhân $e^{- k t}$ với $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 2.11

Cộng $0$ và $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Bước 3

Vì $b$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $b$ đối với $t$ là $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $a e^{- k t} k$ và $0$ .

$a e^{- k t} k$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$