Giải tích Ví dụ

$10 t^{2} \cdot 2^{- t}$

Bước 1

Vì $10$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $10 t^{2} \cdot 2^{- t}$ đối với $t$ là $10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} \frac{d}{d t} [2^{- t}] + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = 2^{t}$ và $g (t) = - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- t$ .

$10 (t^{2} (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$10 (t^{2} (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- \frac{d}{d t} [t])) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- 1 \cdot 1)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \cdot - 1) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $2^{- t} \ln (2)$ .

$10 (t^{2} (- 1 \cdot (2^{- t} \ln (2))) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.3.3

Viết lại $- 1 \cdot 2^{- t}$ ở dạng $- 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} (2 t))$

Bước 5

Nhân $2^{- t}$ với $2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2 \cdot 2^{- t} t)$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $2^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1} \cdot 2^{- t} t)$

Bước 5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1 - t} t)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2))) + 10 (2^{1 - t} t)$

Bước 6.2

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 t^{2} (2^{- t} \ln (2)) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$ .

$- 10 t^{2} \cdot 2^{- t} \ln (2) + 10 t \cdot 2^{1 - t}$