Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3} - 1}{x - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3} - 1$ và $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.4.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} - (x^{3} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - (x^{3} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $x^{3}$ khỏi $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$