Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{3 - x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.7.2

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3.2

Cộng $- 3 x^{4}$ và $2 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{4} + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{4} + 9 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.5.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.5.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.5.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.5.3

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3^{2} - x^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.5.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3$ và $b = x$ .

$\frac{x^{2} (3 + x) (3 - x)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$