Giải tích Ví dụ

$\frac{x e^{x}}{\ln (x^{2} - 1)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x e^{x}$ và $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}] - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2} - 1}$ và $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{x}{x^{2} - 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + 0)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - 2 \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.6.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{e^{x} x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 6.6.4

Kết hợp $\frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1}$ và $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x) x}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x^{1}))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{1 + 1})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 10

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{2})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 12

Để viết $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 14

Viết lại $\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ ở dạng một tích.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 15

Nhân $\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}$ với $\frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.2

Khai triển $(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) (x^{2} - 1) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.3.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2 + 1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.3

Viết lại $- 1 (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ ở dạng $- (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x}) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.1.3.5

Viết lại $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ ở dạng $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - x e^{x} \ln (x^{2} - 1) + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 x^{2} e^{x}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 16.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x^{3} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} x \ln (x^{2} - 1) + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{\ln^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}$