Giải tích Ví dụ

$- \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ ở dạng ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 2}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = 1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$- (- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 ({(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.8

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot 0$

Bước 4.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ với $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + 0$

Bước 4.10.2

Cộng $- 2 {(1 - x)}^{- 3}$ và $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 - x)}^{3}}$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$