Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3 x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.9

Kết hợp $\frac{- 3}{3}$ và $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.10

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{7}}{10}$ đối với $x$ là $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6})$

Bước 3.3

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{10} x^{6}$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{7}{10}$ và $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{7 x^{6}}{10}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7 x^{6}}{10} - \frac{1}{x^{4}}$