Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ ở dạng ${(1 - \cos (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - \cos (x)$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.5.2

Nhân ${(1 - \cos (x))}^{- 2}$ với $1$ .

${(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

${(1 - \cos (x))}^{- 2} (- \sin (x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - \cos (x))}^{2}} (- \sin (x))$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{{(1 - \cos (x))}^{2}}$ và $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{{(1 - \cos (x))}^{2}}$