Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ ở dạng ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 5 x + 6$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 5 x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.5

Nhân $5$ với $1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.6

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

Bước 3.7

Cộng $2 x + 5$ và $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ .

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân $- 1$ với $5$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Bước 4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Phân tích $x^{2} + 5 x + 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $6$ và tổng của chúng là $5$ .

$2, 3$

Bước 4.6.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Bước 4.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 2) (x + 3)$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Bước 4.7

Nhân $- 2 x - 5$ với $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Bước 4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Bước 4.9

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Bước 4.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Bước 4.11

Viết lại $- (2 x + 5)$ ở dạng $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Bước 4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$