Giải tích Ví dụ

$\frac{11 x^{2} + 10 x - 9}{x + 9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 11 x^{2} + 10 x - 9$ và $g (x) = x + 9$ .

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10 x - 9] - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $11 x^{2} + 10 x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x + 9) (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 x^{2}$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 9) (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x + 9) (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $11$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + 0) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.9

Cộng $22 x + 10$ và $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.12

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 2.13.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Khai triển $(x + 9) (22 x + 10)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (22 x + 10) + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{22 x \cdot x + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{22 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{22 x^{2} + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.1.3

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 \cdot x + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.1.4

Nhân $22$ với $9$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.1.5

Nhân $9$ với $10$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2

Cộng $10 x$ và $198 x$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Nhân $11$ với $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.4

Nhân $10$ với $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Trừ $11 x^{2}$ khỏi $22 x^{2}$ .

$\frac{11 x^{2} + 208 x + 90 - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Trừ $10 x$ khỏi $208 x$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 90 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.2.4

Cộng $90$ và $9$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.3

Đưa $11$ ra ngoài $11 x^{2} + 198 x + 99$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $11$ ra ngoài $11 x^{2}$ .

$\frac{11 (x^{2}) + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Đưa $11$ ra ngoài $198 x$ .

$\frac{11 (x^{2}) + 11 (18 x) + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Đưa $11$ ra ngoài $99$ .

$\frac{11 x^{2} + 11 (18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Đưa $11$ ra ngoài $11 x^{2} + 11 (18 x)$ .

$\frac{11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Bước 3.3.5

Đưa $11$ ra ngoài $11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9$ .

$\frac{11 (x^{2} + 18 x + 9)}{{(x + 9)}^{2}}$