Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x^{5} + 7}{x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x^{5} + 7$ và $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 7] - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 7] - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 7] - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{5} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{5}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.5

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{x^{3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.6

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{3} (10 x^{4} + 0) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.7

Cộng $10 x^{4}$ và $0$ .

$\frac{x^{3} (10 x^{4}) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3

Nhân $x^{3}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 10 - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 10 - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.3

Cộng $4$ và $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 10 - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x^{7}$ .

$\frac{10 \cdot x^{7} - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{10 x^{7} - (2 x^{5} + 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Bước 6

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{10 x^{7} - 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 6.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $10 x^{7} - 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $10 x^{7}$ .

$\frac{x^{2} (10 x^{5}) - 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 6.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (10 x^{5}) + x^{2} (- 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Bước 6.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (10 x^{5}) + x^{2} (- 3 (2 x^{5} + 7))$ .

$\frac{x^{2} (10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Bước 7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} (10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7)}{x^{4}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{10 x^{5} - 3 (2 x^{5}) - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

Bước 8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{10 x^{5} - 6 x^{5} - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $- 3$ với $7$ .

$\frac{10 x^{5} - 6 x^{5} - 21}{x^{4}}$

Bước 8.2.2

Trừ $6 x^{5}$ khỏi $10 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} - 21}{x^{4}}$