Giải tích Ví dụ

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 e^{x} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 e^{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 5.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Kết hợp $7$ và $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.2

Nhân $8$ với $7$ .

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.5

Nhân $- 2$ với $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.7

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.8

Nhân $- 4$ với $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.9

Nhân $- x^{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.1.9.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.2

Cộng $- 14 x^{2}$ và $7 x^{2}$ .

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Đưa $7 x$ ra ngoài $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Đưa $7 x$ ra ngoài $- 7 x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.7.1.2

Đưa $7 x$ ra ngoài $56 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.7.1.3

Đưa $7 x$ ra ngoài $- 28 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.7.1.4

Đưa $7 x$ ra ngoài $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.7.1.5

Đưa $7 x$ ra ngoài $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 e^{x} x) - (x)$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $8 e^{x}$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.13

Viết lại $- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ ở dạng $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Bước 6.15

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$