Giải tích Ví dụ

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 3 x^{4} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{4} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{4} + 8$ .

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 2.4

Nhân $4$ với $3$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 2.5

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $12 x^{3}$ và $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

Bước 2.6.2

Nhân $12$ với $2$ .

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $3$ với $24$ .

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Bước 3.3.2

Nhân $x^{4}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

Bước 3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Bước 3.3.2.3

Cộng $3$ và $4$ .

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Bước 3.3.3

Nhân $24$ với $8$ .

$72 x^{7} + 192 x^{3}$