Giải tích Ví dụ

$(2 x - 3) x^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 2 x - 3$ và $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 11

Nhân $2$ với $1$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 12

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 + 0)$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $2$ và $0$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 13.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$x \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.8

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.9

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{1} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.10.4

Chia $3 x^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.11

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.12

Nhân $3$ với $- 3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 14.2.14

Cộng $3 x^{\frac{3}{2}}$ và $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$