Giải tích Ví dụ

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 3$ và $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 2.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 2.5.2

Nhân ${(x - 3)}^{5}$ với $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 4.2

Đưa ${(x - 3)}^{4}$ ra ngoài ${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa ${(x - 3)}^{4}$ ra ngoài ${(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 4.2.2

Đưa ${(x - 3)}^{4}$ ra ngoài $- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 4.2.3

Đưa ${(x - 3)}^{4}$ ra ngoài ${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa ${(x - 3)}^{4}$ ra ngoài ${(x - 3)}^{10}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 8

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 9.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $- 5$ với $3$ .

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.2.2

Trừ $5 x$ khỏi $x$ .

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.2.3

Trừ $15$ khỏi $- 3$ .

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.5

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.7

Viết lại $- (2 x + 9)$ ở dạng $- 1 (2 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 10.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$