Giải tích Ví dụ

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{h}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ đối với $x$ là $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + h$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + h$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 3.3

Vì $h$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $h$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 3.4.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{5}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

Bước 3.7

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\frac{5}{h}$ và ${(x + h)}^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Bước 4.2.3

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{- 5}{h}$ và $x^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

Bước 4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

Bước 4.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$