Giải tích Ví dụ

$y = \ln ({(x^{2} + 1)}^{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp ${(x^{2} + 1)}^{2}$ và $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x^{2} + 1)}^{2}$ và ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x)$

Bước 3.6.2

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{x^{2} + 1} x$

Bước 3.6.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{x^{2} + 1} x$

Bước 3.6.4

Kết hợp $\frac{6}{x^{2} + 1}$ và $x$ .

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$