Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2 - 1}}$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{1}}]$

Bước 2

Rút gọn.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 1$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Bước 11.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Bước 11.3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$