Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(7 + x)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 14 x$ và $g (x) = {(7 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{({(7 + x)}^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(7 + x)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 14 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 2.4

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \cdot 1) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 2.6

Nhân $14$ với $1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 7 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 u \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 (7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 4.2

Đưa $7 + x$ ra ngoài ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $7 + x$ ra ngoài ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14)$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 4.2.2

Đưa $7 + x$ ra ngoài $- 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 4.2.3

Đưa $7 + x$ ra ngoài $(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $7 + x$ ra ngoài ${(7 + x)}^{4}$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 7

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \cdot 1}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 10

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Khai triển $(7 + x) (2 x + 14)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (2 x + 14) + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1.1

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{14 x + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2.1.2

Nhân $7$ với $14$ .

$\frac{14 x + 98 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{14 x + 98 + 2 x \cdot x + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2.1.5

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + 14 x - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.2.2

Cộng $14 x$ và $14 x$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.1.3

Nhân $14$ với $- 2$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{28 x + 98 + 0 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.2.2

Cộng $28 x + 98$ và $0$ .

$\frac{28 x + 98 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.2.3

Trừ $28 x$ khỏi $28 x$ .

$\frac{0 + 98}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.2.2.4

Cộng $0$ và $98$ .

$\frac{98}{{(7 + x)}^{3}}$

Bước 11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{98}{{(x + 7)}^{3}}$