Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 1$ và $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) x - (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x + 1) x - (x^{2} - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 (x + 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 (x + 1) x - (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - x^{2} - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x - x^{2} - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x - x^{2} - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 3.5.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Viết lại biểu thức.

$1$