Giải tích Ví dụ

$3 x {(16 - x)}^{3}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x {(16 - x)}^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 16 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $16 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $16 - x$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7

Nhân $- 3$ với $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Bước 4.9

Nhân ${(16 - x)}^{3}$ với $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Bước 5.2

Nhân $- 3$ với $3$ .

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Bước 5.3

Đưa $3 {(16 - x)}^{2}$ ra ngoài $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $3 {(16 - x)}^{2}$ ra ngoài $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Bước 5.3.2

Đưa $3 {(16 - x)}^{2}$ ra ngoài $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Bước 5.3.3

Đưa $3 {(16 - x)}^{2}$ ra ngoài $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Bước 5.4

Trừ $x$ khỏi $- 3 x$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Bước 5.5

Viết lại ${(16 - x)}^{2}$ ở dạng $(16 - x) (16 - x)$ .

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.6

Khai triển $(16 - x) (16 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1

Nhân $16$ với $16$ .

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.2

Nhân $- 1$ với $16$ .

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.1.7

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.7.2

Trừ $16 x$ khỏi $- 16 x$ .

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Nhân $3$ với $256$ .

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.9.2

Nhân $- 32$ với $3$ .

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Bước 5.10

Khai triển $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Nhân $- 4$ với $768$ .

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.2

Nhân $768$ với $16$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.4.1

Di chuyển $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.5

Nhân $- 96$ với $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.6

Nhân $16$ với $- 96$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.8

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.8.1

Di chuyển $x$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.8.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.8.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.9

Nhân $3$ với $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Bước 5.11.10

Nhân $16$ với $3$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Bước 5.12

Trừ $1536 x$ khỏi $- 3072 x$ .

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Bước 5.13

Cộng $384 x^{2}$ và $48 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$