Giải tích Ví dụ

$\frac{7 + \sin (x)}{7 x + \cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 7 + \sin (x)$ và $g (x) = 7 x + \cos (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [7 + \sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7 x \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.2

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.3

Khai triển $(- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 (7 - \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.4.1.1

Nhân $- 7$ với $7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.3

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.4

Nhân $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.4.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.4.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.4.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.2

Trừ $7 \sin (x)$ khỏi $7 \sin (x)$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 0 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.1.4.3

Cộng $- 49$ và $0$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.2

Di chuyển $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7 x \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{7 x \cos (x) + 1 - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3.5

Trừ $49$ khỏi $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) - 48}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$