Giải tích Ví dụ

$4 \sqrt{x y}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x y}$ ở dạng ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 9

Di chuyển ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{4}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 11

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 13

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{2 \cdot y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 16

Nhân $\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x y$ .

$\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.2

Nhân $y^{- \frac{1}{2}}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$