Giải tích Ví dụ

$\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$

Bước 1

Vì $5 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$ đối với $x$ là $5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{2} + 2 x$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $y^{2} + 2 x$ với $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \cdot 1}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.9.2

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$5 y \frac{y^{2} + 0}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.9.3

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$5 y \frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.9.4

Kết hợp $5$ và $\frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$y \frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 3.9.5

Kết hợp $y$ và $\frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{y (5 y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 4

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Bước 6

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{5 y^{3}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$